利来老牌手机appag旗舰厅·这些极有可能成立的数学猜想,却都存在一个大反例!
2020-01-09 14:13:57
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利来老牌手机appag旗舰厅,只差一步

就成为了定理

上期回顾:五大蒙蔽你的数学假象(传送门),今天继续!

the strong law ofsmall numbers 论文中提到的一些例子节选

论文其实就是要表明一个观点:you cannot tell by looking.

a.费马数:

若为素数,其必要条件是为2的幂

证:

假设有某个奇数因子,设,k为正整数

为不为1的正整数

所以含因子,为合数,矛盾!

那么反过来是不是每一个2的幂对应一个素数呢,著名民间科学家费马发现

(求教latex怎么左对齐……)

前5个是质数,因为第6个数实在太大了,费马认为是质数。

1640年费马猜想:的数都是质数

(费马没给出证明……)

反例:

1732年擅长计算的euler给出

注:

之后人们利用计算机一口气算到了n=46以后,发现n大于4小于47时,fn都是合数

目前只知道n=0,1,2,3,4时,f(n)是素数

甚至有人猜想,n>4时,f(n)均是合数…(还没有反例)

费马如果能看到,他的表情一定是:

b.梅森素数

如果是素数,那么一个必要条件是n是素数,证明和a相似,这里略去

但是若n是素数,一定是素数么?

计算一下,当n=2,3,5,7时是对的

反例:

注:本来并不想写出这个梅森素数,因为这个反例并不巨大,但是其很著名,同时也反映了一些问题。

寻找梅森素数一直是一个有趣的课题,是否存在无穷多个梅森素数仍然是数论中未解决的著名难题之一。

c.

均是素数

但是,不是素数

d.

考虑数列

可以求出

猜想:总是一个整数

事实上,这对n<30均成立

反例:

不是整数。

证明如下:

得到递推式后,两边同时模43,如果是整数,那么两边会不同余

对于更多数列和素数上的巧合那就数不胜数了,可参见论文中更多例子

可见猜想虽然很多时候从直觉出发,但是因为从有限枚举的情况不能推出无穷种情况都成立,然而人类处理的数字公式和数列越来越多的时候,那么就会自然而然出现巧合了,

因为只有1个1,1个2,1个3,1个4,1个5,1个6,1个7,……却有无穷个数列和无穷多个数学问题,所以各种巧合很有可能发生,但是由于计算能力有限我们往往枚举过程中探知不到矛盾。

e.

对n为正整数总是互素么?

如果用计算机去从1开始一个个验证,那么计算机是无法发现反例的

(很有可能运行超时)

其实对于1亿亿内的n都可以成立这个命题

但是这真的对所有n成立麽?

反例:

第一个出现在

佩尔方程

很多时候知道一些数学知识后,才能轻易地解决一些看似很复杂的东西。

假定你不知道佩尔方程的理论,那么关于方程

的正整数解的存在性,

你可能会先试探下一些某些较小的数字,如等等

来试图得到一些解,可是无功而返。

由于,也许x会比较大吧,我们可以通过程序来跑一跑

x,y在1~10000之间时是否能够得到解

(省略程序)

然而还是无功而返。

如果我告诉你,在x或y小于一万亿的范围内方程还是没有正整数解!

而有一组正整数解(21,2)

而有一组正整数解(1351,130)

你是否会

猜想:

方程没有正整数解

反例:

且这是方程最小正整数解

注:

好了……这个正整数解肯定不是靠遍历跑出来的,计算机也吃不消

其实只要计算的渐进连分数(这个有简单递推公式)

是连分数序列的最小正周期,

若是偶数,则就是方程的一组特解,

否则是方程的一组特解。

证明参考任何一本讲述了pell方程的初等数论书籍或者wiki

pell方程即形如的方程,d是正整数但不是完全平方数

事实上我们可以证明,pell方程一定有无穷多组正整数解,这是初等数论一个经典结果。

可见:

很多时候一些对小数验证的猜想不一定对大数成立。

这就是为什么很多关于否定方程的正整数解的命题(如费马大定理)不能通过验证较小的整数达到证明目的(如1万亿以内),比如这个pell方程,其在x,y小于一万亿的范围内也是没有解的,但是它有解而且有无穷多正整数解。

这恰好说明了发展数学理论的重要性,比如pell方程其理论与连分数算法都是经过研究得到的(lagrange有重要贡献),而不是单纯的枚举法。

再注:

阿基米德群牛问题

论阿基米德为什么要带那么多牛来到西西里岛……

不知道具体数字的反例

数论中一个非常漂亮的结果就是素数定理:

即对正实数,定义为不大于的素数个数,我们可以用一些初等函数来估计π(x),从而较对素数分布得到一些较精确的结果

素数定理是说:

一个直观的理解就是当n充分大时,在1到n之间任取一个数,其是素数的概率大概为

这个结果等价于时

其中

(不难证明积分存在且有限)

第二个等价成立的原因可以用洛必达法则证明

问题来了:

既然,那么究竟有多接近呢?

下面有一组数据

第一列为n的值,第二列为的值,第三列为的值(取6位有效数字)

似乎总有第二列对应值<第三列对应值

猜想:

这个猜想确实是reasonable的,上面写的那些等价无穷大的结论都是对的。

并且我们有了很多类似的结果如

(当x大于55)

(当x大于355991)

哪怕我们能找到一个确定的n,使n>n时有

我们就可以对n在1-n之间有限的情况验证即可

(这种技巧在数论证明中真是屡见不鲜,有限情况都靠计算机即可)

反例:

john edensor littlewood 1914年证明了这样的n一定存在

使得

他还进一步证明了在会无穷多次变号

注:

接下来该我们的stanley skewes 出场了

stanley skewes 何许人也?

南非数学家,littlewood 的学生之一,littlewood是他的研究生导师,肯定当时给了他这个题目让他做……

stanley skewes于1933年证明了存在一个自然数n,n小于使得

不过他用到了黎曼猜想是正确的这个假设

当年他34岁……

stanley skewes于1955年证明了存在一个自然数n,n小于使得

不过这次他摆脱了黎曼猜想是正确的这个假设,可谓真正的证明了上界的存在性。

当年他56岁…

现在,我们用skewes' number表示最小的自然数n使得

现在有更好的估计 skewes' number比小

但是可见它还是很大,所以计算机不能很好地计算出它(计算能力还是不够……)

但是它还是很小的,如果和葛立恒数相比,它远远小于葛立恒数

本文由超级数学建模编辑整理

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